2013年廣東高考數(shù)學(xué)試題(理科A卷)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},則M∪N=
A. {0} B. {0,2} C. {-2,0} D {-2,0,2}
2.定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是
A. 4 B.3 C. 2 D.1
3.若復(fù)數(shù)z滿足iz=2+4i,則在復(fù)平面內(nèi),z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D(4,2)
4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=
A. B. 2 C. D 3
5.某四棱太的三視圖如圖1所示,則該四棱臺(tái)的體積是
A.4 B. C. D.6
6.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是
A.若α⊥β,mα,n β,則m⊥ n B.若α∥β,mα,nβ,則m∥n
C.若m⊥ n,m α,n β,則α⊥β D.若m α,m∥n,n∥β,則α⊥β
7.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
8.設(shè)整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3……,n}。令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三條件x
A.(y,z,w)∈s,(x,y,w)S B.(y,z,w)∈s,(x,y,w)∈S
C. (y,z,w)s,(x,y,w)∈S D. (y,z,w)s,(x,y,w)S
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分。
(一)必做題(9~13題)
9.不等式x2+x-2<0的解集為 。
10.若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)(1,k)處的切線平行于x軸,則k= 。
11.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖,若輸入n的值為4,則輸出s的值為 。
12,在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=___
13.給定區(qū)域:.令點(diǎn)集T=|(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn),則T中的點(diǎn)共確定____條不同的直線。
(二)選做題(14-15題,考生只能從中選做一題)
14(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(diǎn)(1,1)處的切線為L(zhǎng),一座標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的`正半軸為極軸建立極坐標(biāo),則L的極坐標(biāo)方程為_______.
15.(幾何證明選講選做題)如圖3,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C在圓O上,延長(zhǎng)BC到D是BC=CD,過(guò)C作圓O的切線交AD于E。若AB=6,ED=2,則BC=______.
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答需寫出文字說(shuō)明。證明過(guò)程和演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=cos(x-),XER。
求f(-)的值;
若cosθ=,θE(,2π),求f(2θ+)。
17.(本小題滿分12分)
某車間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖4所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù)。
根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值;
日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人。根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人?
從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率
18(本小題滿分4分)
如圖5,在等腰直角三角形ABC中,∠A =900 BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=
,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖6所示的四棱椎A(chǔ)’-BCDE,其中A’O=?3
證明:A’O⊥平面BCDE;
求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值
19.(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,=an+1-n2 – n - ,n∈N·.(1)求a2的值
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a1
證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有+…<
20.(本小題滿分14分)
已知拋物線c的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線L:x-y-2=0的距離為 . 設(shè)P為直線L上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P做拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn)。
求拋物線C的方程;
當(dāng)點(diǎn)P()x0,y0)為直線L上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;
當(dāng)點(diǎn)P在直線L上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值
21.(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
當(dāng)k∈(1/2,1]時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.
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