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2005年高考數(shù)學(xué)仿真試題(四)
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目
要求的）
1.設(shè)全集Ｉ＝｛1，3，5，7，9｝，集合A＝｛1，｜a－5｜，9｝， ＝｛5，7｝，則A的值是
A.2 B.８ C.－2或8 D.2或8
2.以下結(jié)論正確的是
A.
B.
C.
D.
3.等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B、C按順時(shí)針方向排列，若復(fù)平面內(nèi)，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋2
ｉ和1，則C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
A.－2 B.－2－ ｉ C.-2- I D.-3
4.已知直線m、n、l，平面α、β，以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是
(1)若m∥α，n∥α，則m∥n （2）若α⊥β，m⊥l，l β則m⊥β (3)若m、n為異面直線，
m∥α，則n與α相交 (4)若m⊥n，m⊥α，n α則n∥α
A.0 B.1 C.2 D.3
5.甲、乙、丙三個(gè)單位分別需要招聘工作人員2名、1名、1名，現(xiàn)從10名應(yīng)聘人員中招聘4人到甲、乙、
丙三個(gè)單位，那么不同的招聘方法共有
A.1260種 B.2025種 C.2520種 D.5040種
6.設(shè)ｗ∈R+，如果y＝2sinwx在［－ ， ］上單調(diào)遞增，那么ｗ的取值范圍是
A. B. C. D.
7.直線(x＋1)a＋（y＋1）b＝0與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系是
A.相交 B.相切 C.相離 D.相交或相切
8.設(shè)θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝ ，則方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示
A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
9.等比數(shù)列｛an｝的公比為q，則“a1＞0，且q＞1”是“對(duì)于任意自然數(shù)n，都有an+1＞an”的
A.充分非必要條件 B.必要非充分
C.充要條件 D.既非充分又非必要條件
10.已知f（x）是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋鹸｜x∈R，x≠0｝，又f（x）在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f（－1）＝0，則滿足f（x）＞0的x的取值范圍是
A.（1，＋∞） B.（0，1）
C.（－1，0）∪（1，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
11.數(shù)列｛an｝中，a1＝1，Sn是前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3Sn，則 的值是
A.－ B.－2 C.1 D.－
p; 12.對(duì)于拋物線C：y2＝4x，我們稱滿足y02＜4x0的點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線內(nèi)部，若點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線內(nèi)部，則直線l：y0y＝2（x＋x0）與C
A.恰有一個(gè)公共點(diǎn) B.恰有兩個(gè)公共點(diǎn)
C.可能一個(gè)公共點(diǎn)，也可能兩個(gè) D.沒有公共點(diǎn)
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上）
13.設(shè)變量x、y滿足 則y=5x+4y的最大值是 .
14.若 的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)為36，則自然數(shù)n的值是 .
15.若集合{(x，y)|x+y-2=0且x-2y+4=0} {(x，y)|y=3x+b}，則b= .
16.已知函數(shù)f（x）＝｜x2－2ax＋b｜(x∈R)，給出下列命題：①f（x）必是偶函數(shù)；②當(dāng)f（0）＝f（2）時(shí)f（x）的圖象必關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③若a2－b≤0，則f（x）在區(qū)間［a，＋∞］上是增函數(shù)；④f（x）有最大值a2－b，其中正確命題序號(hào)是 .
三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17.(本小題滿分12分)
一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他的家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是獨(dú)立的，并且概率都是 .
(Ⅰ)求這名學(xué)生首次遇到紅燈前，已經(jīng)過了兩個(gè)交通崗的概率；
(Ⅱ)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈數(shù)ξ的期望與方差.
18.(本小題滿分12分)
如圖正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為 ，A1C1的中點(diǎn)為D.
(Ⅰ)求證BC1∥平面AB1D；
(Ⅱ)求二面角A1－B1D－A的大小；
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面AB1D的距離.
19.(本小題滿分12分)
已知f（x）＝2x－1的反函數(shù)為 （x），g（x）＝log4（3x＋1）.
(Ⅰ)若f-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)H（x）＝g（x）－ （x），當(dāng)x∈D時(shí)，求函數(shù)Ｈ（x）的值域.
20.(本小題滿分12分)
某種商品進(jìn)價(jià)80元，零售價(jià)每個(gè)100元，為了促進(jìn)銷售可以采取買一個(gè)這種商品，贈(zèng)送一個(gè)小禮品的辦法.實(shí)踐表明：禮品價(jià)值為1元時(shí)，銷售量增加10%，且在一定范圍內(nèi)，禮品價(jià)值為n＋1元時(shí)，比禮品價(jià)值為n元(n∈N)時(shí)的銷售量增加10%.
(Ⅰ)寫出禮品價(jià)值n元時(shí)，利潤(rùn)yn(元)與n的函數(shù)關(guān)系式；
(Ⅱ)請(qǐng)你設(shè)計(jì)禮品價(jià)值，以使商店獲得最大利潤(rùn).
p;21.(本小題滿分12分)
以y軸為右準(zhǔn)線的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，它的右焦點(diǎn)F在曲線(x－1)2＋（y－2）2＝4（x＞0)上.
(Ⅰ)當(dāng)MＦ∥x軸時(shí)，求雙曲線C方程；
(Ⅱ)求直線MＦ與雙曲線C右支的另一個(gè)交點(diǎn)N的軌跡方程.
22.(本小題滿分14分)
對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R,使f（x0）＝x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0）有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1，x2.
(Ⅰ)若x1＜1＜x2，且ｆ（x）的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱,求證： ＜m＜1；
(Ⅱ)若｜x1｜＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范圍.
答案
一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D
二、13.14 14.9 15. 2 16.③
三、17.解：(Ⅰ)∵這名學(xué)生第一、第二交通崗未遇到紅燈，第三個(gè)交通崗遇到紅燈2分
6分
(Ⅱ)ξ～B（6， ） 8分
∴Ｅξ＝6× ＝2 10分
Dξ＝6×（ ）×（1－ ）＝ 12分
18.(Ⅰ)證明：連結(jié)A1B，設(shè)A1B與AB1相交于O，則O為A1B的中點(diǎn)，連結(jié)DO，因D為A1C1中點(diǎn)，所以DO為△A1BC1的中位線，∴DO∥BC1又DO 平面AB1D，BC1 平面AB1D ∴BC1∥平面AB1D ∥平面AB1D 4分
(Ⅱ)解：由題意知，B1D是正△A1B1C1的中線，
∴A1C1⊥B1D在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1 ∴AD⊥B1D，∴∠ADA1是二面角A1－B1D－A的平面角，在Rt△ADA1中，tgADA1＝ ∴∠ADA1＝60°即二面角A1－B1D－A等于60° 8分
(Ⅲ)解：因?yàn)镺為A1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面AB1D的距離等于點(diǎn)A1到平面AB1D的距離.由(Ⅱ)知B1D⊥平面A1ACC1 ∴平面AB1D⊥平面A1ACC1且平面AB1D∩平面A1ACC1＝AD，過點(diǎn)A1作A1H⊥AD，垂足為H，則A1H⊥平面A1BD，所以線段A1H的長(zhǎng)度就是點(diǎn)A1到平面AB1D的距離
在Rt△A1AD中，
∴點(diǎn)B到平面AB1D距離為 12分
19.解：(Ⅰ)∵
∴ (x＞-1) 2分
由 ≤g（x） ∴
14分
解得0≤x≤1 ∴D＝［0，1］ 6分
(Ⅱ)H（x）＝g（x）－ 9分
∵0≤x≤1 ∴1≤3－ ≤2
∴0≤H（x）≤ ∴H（x）的值域?yàn)椋?， ］ 12分
20.解：（Ⅰ）設(shè)未贈(zèng)禮品時(shí)銷售量為ｍ件，則當(dāng)禮品ｎ元時(shí)，銷售量為ｍ（1＋10％）n，利潤(rùn)yn＝（100－80－ｎ）·ｍ·（1＋10％）n＝（20－ｎ）ｍ×1.1n（0＜ｎ＜20，ｎ∈N)?4分
(Ⅱ)設(shè)禮品贈(zèng)送ｎ元時(shí)，利潤(rùn)最大
則 ?8分
∴9≤ｎ≤10 10分
∴禮品價(jià)值為9元或10元時(shí)，商店獲利最大?12分
21.解：(Ⅰ)可知M為圓心， ，F(xiàn)(3，2)，M為右頂點(diǎn) 2分
設(shè)雙曲線方程為
即雙曲線方程為 6分
(Ⅱ)設(shè)N（x，y）（x＞0），則｜
∴9（x＋ ）2－3（y－2）2＝16（x＞0） 12分
22.(Ⅰ)證明：g（x）＝f（x）－x＝ax2＋（b－1）x＋1?且a＞0 ∵x1＜1＜x2＜2
∴（x1－1）（x2－1）＜0即x1x2＜（x1＋x2）－1 2分
于是
＞ ［（x1+x2）-1］= 4分
又∵x1＜1＜x2＜2 ∴x1x2＞x1于是有ｍ＝ （x1＋x2）－ x1x2＜ （x1＋x2）－ x1＝ x2＜1 ∴ ＜m＜1 6分
(Ⅱ)解：由方程 ＞0，∴x1x2同號(hào)
（�。┤�0＜x1＜2則x2－x1＝2
∴x2＝x1＋2＞2 ∴g（2）＜0
即4a＋2b－1＜0 ①
又(x2－x1)2＝
; 8分
∴ ，（∵a＞0）代入①式得
＜3－2b，解之得：b＜ 10分
(ⅱ)若－2＜x1＜0，則x2＝－2＋x1＜－2 ∴g（－2）＜0，即4a－2b＋3＜0 ②
又 代入②得 ＜2b－1解之得b＞
綜上可知b的取值范圍為 14分
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