2013年福建高考數(shù)學(xué)（理）試題真題及答案（word版）
2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(福建卷)
數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)
第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求的.
1.已知復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù) ( 為虛數(shù)單位)，則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ， ，則 是 的()
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.雙曲線 的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離等于( )
A. B. C. D.
4.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)
分成6組：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以統(tǒng)計(jì)，
得到如圖所示的頻率分布直方圖。已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，
據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為( )
A.588 B.480 C.450 D.120
5.滿足 ，且關(guān)于 的方程 有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
6.閱讀如圖所示的程序框圖，若編入的 ，則該算法的功能是( )
A. 計(jì)算數(shù)列 的前10項(xiàng)和 B.計(jì)算數(shù)列 的前9項(xiàng)和
C. 計(jì)算數(shù)列 的前10項(xiàng)和 D. 計(jì)算數(shù)列 的前9項(xiàng)和
7. 在四邊形 中， ， ,則該四邊形的面積為( )
A. B. C.5 D.10
8. 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)镽， 是 的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論
一定正確的是()
A. B. 是 的極小值點(diǎn)
C. 是 的極小值點(diǎn) D. 是 的極小值點(diǎn)
9. 已知等比數(shù)列 的公比為 ，記 ， ， ，則以下結(jié)論一定正確的是( )
A. 數(shù)列 為等差數(shù)列，公差為 B. 數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為
C. 數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為 D. 數(shù)列 為等比數(shù)列，公比為
10. 設(shè) 是 的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從 到 的函數(shù) 滿足： ; 對(duì)任意 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 ，那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
一、 填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置.
11. 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 ～ 之間的均勻隨機(jī)數(shù) ，則事件‘3a-1>0 ’發(fā)生的概率為_________
12. 已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、
俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球
的表面積是
13. 如圖，在 中，已知點(diǎn) 在 邊上， , , , 則 的長(zhǎng)為
14. 橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 ,焦距為 ，若直線 與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)滿足 ,則該橢圓的離心率等于_____
15. 當(dāng) 時(shí)，有如下表達(dá)式：
兩邊同時(shí)積分得： 從而得到如下等式：
請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16.(本小題滿分13分)
某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得2分;方案乙的中獎(jiǎng)率為 ，中獎(jiǎng)可以獲得3分;未中獎(jiǎng)則不得分。每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品。
(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為 ,求 的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大?
17.(本小題滿分13分)
已知函數(shù) (1)當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2) 求函數(shù) 的極值
18.(本小題滿分13分)
如圖，在正方形 中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，分別將線段 和 十等分，分點(diǎn)分別記為
和 ，連接 ，過 作 軸的垂線與 交于點(diǎn) 。
(1)求證：點(diǎn) 都在同一條拋物線上，并求拋物線 的方程;
(2) 過點(diǎn) 作直線 與拋物線E交于不同的`兩點(diǎn) , 若 與 的面積之比為4:1，求直線 的方程。
19.(本小題滿分13分)
如圖，在四棱柱 中，側(cè)棱 底面 ,
(1)求證： 平面 (2)若直線 與平面 所成角的正弦值為 ，求 的值
(3)現(xiàn)將與四棱柱 形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為 ，寫出 的解析式。(直接寫出答案，不必說明理由)
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù) 的周期為 ，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為 ，將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向右平移個(gè) 單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) 的圖象。
(1)求函數(shù) 與 的解析式
(2)是否存在 ，使得 按照某種順序成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)確定 的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由;
(3)求實(shí)數(shù) 與正整數(shù) ，使得 在 內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)
21. 本小題設(shè)有(1)、(2)、(3)三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.
(1). (本小題滿分7分) 選修4-2：矩陣與變換
已知直線 在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本� (I)求實(shí)數(shù) 的值
(II)若點(diǎn) 在直線 上，且 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo)
(2).(本小題滿分7分) 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 ，直線 的極坐標(biāo)方程為 ，且點(diǎn)A在直線 上。
(Ⅰ)求 的值及直線 的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)圓C的參數(shù)方程為 ，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.
(3).(本小題滿分7分) 選修4-5：不等式選講
設(shè)不等式 的解集為A,且 (Ⅰ)求 的值
(Ⅱ)求函數(shù) 的最小值
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