2017高一數(shù)學(xué)期末考試題及答案

　　又到了一年期末，那么期末數(shù)學(xué)考試考什么呢，以下是CN人才小編搜集并整理的有關(guān)內(nèi)容，希望對大家有所幫助!

　　一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

　　1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，設(shè)集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，則(CUA)∩B=(　　)

　　A.{2，4} B.{1，3} C.{1，3，6，7} D.{1，3，5，6，7}

　　2.下列圖形中，不可作為函數(shù)y=f(x)圖象的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.設(shè)A={x|x是銳角}，B=(0，1).從A到B的映射是“求余弦”，與A中元素30°相對應(yīng)的B中的元素是(　　)

　　A. B. C. D.

　　4.直線 與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于(　　)

　　A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

　　5.下列四個(gè)命題：

　�、倨叫杏谕�一平面的兩條直線相互平行

　�、谄叫杏谕�一直線的兩個(gè)平面相互平行

　　③垂直于同一平面的兩條直線相互平行

　�、艽怪庇谕�一直線的兩個(gè)平面相互平行

　　其中正確的有(　　)

　　A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)

　　6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線從點(diǎn)A(﹣3，5)出發(fā)，被x軸反射后到達(dá)點(diǎn)B(2，7)，則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為(　　)

　　A.12 B.13 C. D.2

　　7.下列不等關(guān)系正確的是(　　)

　　A.log43

　　C.3 D.3

　　8.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為(　　)

　　A. B.8π C. D.4π

　　9.已知a，b為異面直線，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，則直線m(　　)

　　A.與a，b都相交 B.至多與a，b中的一條相交

　　C.與a，b都不相交 D.至少與a，b中的一條相交

　　10.如圖，Rt△A′O′B′的直觀圖，且△A′O′B′為面積為1，則△AOB中最長的邊長為(　　)

　　A.2 B.2 C.1 D.2

　　11.已知圓O1：(x+1)2+(y﹣3)2=9，圓O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，則這兩個(gè)圓的公共弦長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　12.已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)= 滿足對任意實(shí)數(shù)x1≠x2，都有 >0成立，則a的取值范圍是(　　)

　　A.(1，2) B.[ ，2) C.(1， ) D.(1， ]

　　二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

　　13.計(jì)算： =　　　　　　.

　　14.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5，1)、(m，1)，若這條線段被直線x﹣2y=0所平分，則m=　　　　　　.

　　15.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為　　　　　　.

　　16.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[﹣2，2]的圖象如，給出下列四個(gè)命題：

　　(1)方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根

　　(2)方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根

　　(3)方程f[f(x)]=0有且僅有5個(gè)根

　　(4)方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根

　　其中正確命題是　　　　　　.

　　三、解答題(共6小題，滿分70分)

　　17.已知集合A={x|x≤﹣2或x>1}關(guān)于x的不等式2a+x>22x(a∈R)的解集為B.

　　(1)當(dāng)a=1時(shí)，求解集B;

　　(2)如果A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　18.如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(2，﹣1)，C(4，2).

　　(1)求直線CD的方程;

　　(2)求平行四邊形ABCD的面積.

　　19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O點(diǎn)在AC上，PO=2，M為PD中點(diǎn).

　　(1)證明：AD⊥平面PAC;

　　(2)求三棱錐M﹣ACD的體積.

　　20.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力與老師的授課時(shí)間有關(guān)，開始授課時(shí)，學(xué)生的注意力逐漸集中，到達(dá)理想的狀態(tài)后保持一段時(shí)間，隨后開始逐漸分散.用f(x)表示學(xué)生的注意力，x表示授課時(shí)間(單位：分)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明f(x)與x有如下的關(guān)系：f(x)= .

　　(1)開始授課后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中?能維持多長的時(shí)間?

　　(2)若講解某一道數(shù)學(xué)題需要55的注意力以及10分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題?

　　21.設(shè)f(x)=mx2+(m+4)x+3.

　　(1)試確定m的值，使得f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，且f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)的差的絕對值最小，并求出這個(gè)最小值;

　　(2)若m=﹣1時(shí)，在[0，λ](λ為正常數(shù))上存在x使f(x)﹣a>0成立，求a的取值范圍.

　　22.定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f(x)≥M成立，則稱f(x)是D上的有下界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)下界.已知函數(shù)f(x)= (a>0).

　　(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求a的值;

　　(2)求函數(shù)f(x)在[lna，+∞)上所有下界構(gòu)成的集合.

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)

　　1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，設(shè)集合A={2，4，5}，集合B={1，2，3，4}，則(CUA)∩B=(　　)

　　A.{2，4} B.{1，3} C.{1，3，6，7} D.{1，3，5，6，7}

　　【分析】直接利用交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算得答案.

　　【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，

　　∴CUA={1，3，6，7}，

　　又B={1，2，3，4}，

　　∴(CUA)∩B={1，3}.

　　故選：B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

　　2.下列圖形中，不可作為函數(shù)y=f(x)圖象的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】由函數(shù)的概念，C中有的x，存在兩個(gè)y與x對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.

　　【解答】解：由函數(shù)的概念，C中有的x，存在兩個(gè)y與x對應(yīng)，

　　不符合函數(shù)的定義，

　　ABD均符合.

　　故選：C

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的概念的理解，屬基本概念的考查.解答的關(guān)鍵是對函數(shù)概念的理解.

　　3.設(shè)A={x|x是銳角}，B=(0，1).從A到B的映射是“求余弦”，與A中元素30°相對應(yīng)的B中的元素是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】直接由映射概念結(jié)合三角函數(shù)的求值得答案.

　　【解答】解：∵A={x|x是銳角}，B=(0，1)，且從A到B的映射是“求余弦”，

　　由 ，

　　可得與A中元素30°相對應(yīng)的B中的元素是 .

　　故選：A.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查映射的概念，考查了三角函數(shù)的值，是基礎(chǔ)題.

　　4.直線 與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于(　　)

　　A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

　　【分析】圓心到直線的距離等于半徑，求解即可.

　　【解答】解：圓的方程(x﹣1)2+y2=3，圓心(1，0)到直線的距離等于半徑 或者

　　故選C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

　　5.下列四個(gè)命題：

　　①平行于同一平面的兩條直線相互平行

　�、谄叫杏谕�一直線的兩個(gè)平面相互平行

　�、鄞怪庇谕�一平面的兩條直線相互平行

　　④垂直于同一直線的兩個(gè)平面相互平行

　　其中正確的有(　　)

　　A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)

　　【分析】①平行于同一平面的兩條直線相互平行，由線線的位置關(guān)系判斷;

　　②平行于同一直線的兩個(gè)平面相互平行，由面面的位置關(guān)系判斷;

　�、鄞怪庇谕�一平面的兩條直線相互平行，由線面垂直的性質(zhì)判斷;

　�、艽怪庇谕�一直線的兩個(gè)平面相互平行，由線面垂直的性質(zhì)判斷.

　　【解答】解：①平行于同一平面的兩條直線相互平行，此命題錯(cuò)誤，兩條直線平行于同一平面，則兩者的關(guān)系是相交、平行、異面都有可能.

　　②平行于同一直線的兩個(gè)平面相互平行，此命題錯(cuò)誤，平行于同一直線的兩個(gè)平面可能平行也可能相交;

　　③垂直于同一平面的兩條直線相互平行，此命題正確，由線面垂直的性質(zhì)知，兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，則兩線平行;

　　④垂直于同一直線的兩個(gè)平面相互平行，此命題正確，垂直于同一直線的兩個(gè)平面一定平行.

　　綜上③④正確

　　故選C

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，解題的關(guān)鍵是有著較好的空間想像能力以及對空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的情況掌握得比較熟練，本題考查了推理論證的能力

　　6.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一束光線從點(diǎn)A(﹣3，5)出發(fā)，被x軸反射后到達(dá)點(diǎn)B(2，7)，則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為(　　)

　　A.12 B.13 C. D.2

　　【分析】利用反射原理可知反射光線經(jīng)過A(﹣3，5)關(guān)于x軸的對襯點(diǎn)A′(﹣3，﹣5)，從而可求得答案.

　　【解答】解：∵A(﹣3，5)關(guān)于x軸的對襯點(diǎn)A′(﹣3，﹣5)，

　　由反射原理可知反射光線經(jīng)過A′(﹣3，﹣5)，

　　設(shè)入射光線與x軸相交于M，

　　則這束光線從A到B所經(jīng)過的距離為：

　　|AM|+|MB|=|A′M|+|MB|=|A′B|= = =13.

　　故選B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線關(guān)于點(diǎn)關(guān)于直線對稱的問題，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

       

　　7.下列不等關(guān)系正確的是(　　)

　　A.log43

　　C.3 D.3

　　【分析】直接利用指數(shù)式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案.

　　【解答】解：∵log43<1，log34>1，∴log43

　　∵log 3=﹣1，log 3=﹣log23<﹣1，∴log 3>log 3，B錯(cuò)誤;

　　∵ ，∴ ，C錯(cuò)誤;

　　∵3 >1，log32<1，∴3 >log32，D錯(cuò)誤.

　　故選：A.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查對數(shù)值的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

　　8.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為(　　)

　　A. B.8π C. D.4π

　　【分析】求出截面圓的半徑，利用勾股定理求球的半徑，然后求出球的表面積.

　　【解答】解：球的截面圓的半徑為：π=πr2，r=1

　　球的半徑為：R=

　　所以球的表面積：4πR2=4π× =8π

　　故選B.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積和表面積，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題.

　　9.已知a，b為異面直線，a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=m，則直線m(　　)

　　A.與a，b都相交 B.至多與a，b中的一條相交

　　C.與a，b都不相交 D.至少與a，b中的一條相交

　　【分析】a∥m，b∩m=A，滿足題意;m與a、b都不相交，則a，b平行，與異面矛盾;m可以與a、b都相交，交點(diǎn)為不同點(diǎn)即可.

　　【解答】解：對于A，a∥m，b∩m=A，滿足題意，故A不正確;

　　對于B，m與a、b都不相交，則l與a、b都平行，所以a，b平行，與異面矛盾，故B不正確;

　　對于C，m可以與a、b都相交，交點(diǎn)為不同點(diǎn)即可，故C不正確;

　　對于D，由A，B，C的分析，可知D正確.

　　故選：D.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用.

　　10.如圖，Rt△A′O′B′的直觀圖，且△A′O′B′為面積為1，則△AOB中最長的邊長為(　　)

　　A.2 B.2 C.1 D.2

　　【分析】求出O′A′=A′B′= ，O′B′=2，從而在△AOB中，OA=2O′A′，OB=O′B′，且OA⊥OB，由此能求出△AOB中最長的邊長.

　　【解答】解：如圖，Rt△A′O′B′的直觀圖，且△A′O′B′為面積為1，

　　∴設(shè)O′A′=A′B′=x，則 =1，

　　解得O′A′=A′B′= ，∴O′B′= =2，

　　∴△AOB中，OA=2O′A′=2 ，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，

　　∴OB= =2 .

　　∴△AOB中最長的邊長為2 .

　　故選：C.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中最長邊長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面圖形直觀圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

　　11.已知圓O1：(x+1)2+(y﹣3)2=9，圓O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，則這兩個(gè)圓的公共弦長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】對兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出一個(gè)圓的圓心到該弦的距離，用弦心距、弦的一半，半徑建立的直角三角形求出弦的一半，即得其長.[來源:Zxxk.Com]

　　【解答】解：兩圓的方程作差得6x﹣8y+12=0，即3x﹣4y+6=0，

　　∵圓C1：(x+1)2+(y﹣3)2=9，故其圓心為(﹣1，3)，r=3

　　圓到弦所在直線的距離為d= =

　　弦長的一半是 =

　　故弦長為 .

　　綜上，公共弦所在直線方程為3x﹣4y+6=0，弦長為 .

　　故選：A.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查兩圓公共弦所在的直線方程及公共弦的長，屬于中檔題.

　　12.已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)= 滿足對任意實(shí)數(shù)x1≠x2，都有 >0成立，則a的取值范圍是(　　)

　　A.(1，2) B.[ ，2) C.(1， ) D.(1， ]

　　【分析】由 >0可知f(x)在R上是增函數(shù)，且f(x)在(﹣∞，0]上的最大值小于f(x)在(0，+∞)上的最小值.列出不等式組解出.

　　【解答】解：∵ >0恒成立，∴f(x)在定義域上是增函數(shù)，

　　∵f(x)在(﹣∞，0]上是增函數(shù)，∴2﹣a>0，即a<2.且f(0)=3a﹣4.

　　∵f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，∴a>1，且x→0+時(shí)，f(x)→1，

　　∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴3a﹣4≤1，解得a≤ .

　　綜上，a的取值范圍是(1， ].

　　故選：D.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，需要特別注意f(x)在不同定義域上最值的大小關(guān)系，屬于中檔題.

　　二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)

　　13.計(jì)算： =　﹣2　.

　　【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，將式子 化簡合并，再結(jié)合常用對數(shù)的性質(zhì)即可得到原式的值.

　　【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25

　　=﹣lg(4×25)=﹣lg100=﹣2

　　故答案為：﹣2

　　【點(diǎn)評(píng)】本題著重考查了常用對數(shù)的定義和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

　　14.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5，1)、(m，1)，若這條線段被直線x﹣2y=0所平分，則m=　﹣1　.

　　【分析】由已知得這條線段的中點(diǎn)( ，1)在直線x﹣2y=0上，由此能求出m.

　　【解答】解：∵一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(5，1)、(m，1)，

　　這條線段被直線x﹣2y=0所平分，

　　∴這條線段的中點(diǎn)( ，1)在直線x﹣2y=0上，

　　∴ ，解得m=﹣1.

　　故答案為：﹣1.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用.

　　15.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為　(12+2 )π　.

　　【分析】空間幾何體是一個(gè)組合體，上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是 ，在軸截面中圓錐的母線長使用勾股定理做出的，寫出表面積，下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是2，做出圓柱的表面積，注意不包括重合的平面.

　　【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個(gè)組合體，

　　上面是一個(gè)圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是 ，

　　∴在軸截面中圓錐的母線長是 ，

　　∴圓錐的側(cè)面積是 ，

　　下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是4，

　　圓柱的高是2，

　　∴圓柱表現(xiàn)出來的表面積是π×22+2π×2×2=12π

　　∴空間組合體的表面積是 ，

　　故答案為：

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結(jié)構(gòu)比較簡單，易錯(cuò)點(diǎn)可能是兩個(gè)幾何體重疊的部分忘記去掉，求表面積就有這樣的弊端.

　　16.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[﹣2，2]的圖象如，給出下列四個(gè)命題：

　　(1)方程f[g(x)]=0有且僅有6個(gè)根

　　(2)方程g[f(x)]=0有且僅有3個(gè)根

　　(3)方程f[f(x)]=0有且僅有5個(gè)根

　　(4)方程g[g(x)]=0有且僅有4個(gè)根

　　其中正確命題是　(1)(3)(4)　.

　　【分析】把復(fù)合函數(shù)的定義域和值域進(jìn)行對接，看滿足外層函數(shù)為零時(shí)內(nèi)層函數(shù)有幾個(gè)自變量與之相對應(yīng).

　　【解答】解：∵在y為[﹣2，﹣1]時(shí)，g(x)有兩個(gè)自變量滿足，在y=0，y為[1，2]時(shí)，g(x)同樣都是兩個(gè)自變量滿足

　　∴(1)正確

　　∵f(x)值域在[﹣1，2]上都是一一對應(yīng)，而在值域[0，1]上都對應(yīng)3個(gè)原像，

　　∴(2)錯(cuò)誤

　　同理可知(3)(4)正確.

　　故答案為：(1)(3)(4).

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合函數(shù)的對應(yīng)問題，做題時(shí)注意外層函數(shù)的定義域和內(nèi)層函數(shù)值域的對接比較.

　　三、解答題(共6小題，滿分70分)

　　17.已知集合A={x|x≤﹣2或x>1}關(guān)于x的不等式2a+x>22x(a∈R)的解集為B.

　　(1)當(dāng)a=1時(shí)，求解集B;

　　(2)如果A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　【分析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求解集B;

　　(2)如果A∩B=B，B⊆A，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　【解答】解：(1)∵2a+x>22x，a=1，

　　∴1+x>2x，

　　∴x<1，

　　∴B=(﹣∞，1);

　　(2)∵2a+x>22x，

　　∴a+x>2x，

　　∴x

　　∴B=(﹣∞，a)，

　　∵A∩B=B，

　　∴B⊆A，

　　∴a≤﹣2.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

　　18.如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(2，﹣1)，C(4，2).

　　(1)求直線CD的方程;

　　(2)求平行四邊形ABCD的面積.

　　【分析】(1)由平行四邊形ABCD的性質(zhì)求出CD的斜率，由此能求出直線CD的方程.

　　(2)求出點(diǎn)A(0，0)到直線CD的距離d和|CD|=|AB|，由此能求出平行四邊形ABCD的面積.

　　【解答】解：(1)∵平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(2，﹣1)，C(4，2)，

　　∴ =﹣ ，

　　∴直線CD的方程為：y﹣2=﹣ (x﹣4)，

　　整理，得x+2y﹣8=0.

　　(2)點(diǎn)A(0，0)到直線CD的距離d= = ，

　　|CD|=|AB|= = ，

　　∴平行四邊形ABCD的面積：

　　S平行四邊形ABCD=|CD|•d= =8.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，考查平行四邊形的面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用.

　　19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O點(diǎn)在AC上，PO=2，M為PD中點(diǎn).

　　(1)證明：AD⊥平面PAC;

　　(2)求三棱錐M﹣ACD的體積.

　　【分析】(1)由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD.故AD⊥平面PAC;

　　(2)由M為中點(diǎn)可知M到底面的距離為 PO，把△ACD看做棱錐的底面，則棱錐的高為 ，代入體積公式計(jì)算.

　　【解答】證明：(1)∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC.

　　∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

　　∴PO⊥AD，又∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，

　　∴AD⊥平面PAC.

　　(2)∵M(jìn)是PD的中點(diǎn)，∴M到平面ABCD的距離d= PO=1.

　　S△ACD= = .

　　∴三棱錐M﹣ACD的體積V= S△ACD•d= = .

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

　　20.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力與老師的授課時(shí)間有關(guān)，開始授課時(shí)，學(xué)生的注意力逐漸集中，到達(dá)理想的狀態(tài)后保持一段時(shí)間，隨后開始逐漸分散.用f(x)表示學(xué)生的注意力，x表示授課時(shí)間(單位：分)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明f(x)與x有如下的關(guān)系：f(x)= .

　　(1)開始授課后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中?能維持多長的時(shí)間?

　　(2)若講解某一道數(shù)學(xué)題需要55的注意力以及10分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題?

　　【分析】(1)根據(jù)f(x)在各段上的單調(diào)性可判斷計(jì)算出答案.

　　(2)解不等式求出學(xué)生注意力不低于55的持續(xù)時(shí)間即可.

　　【解答】解：(1)當(dāng)0

　　當(dāng)16

　　∴開始授課10分鐘后，學(xué)生的注意力最集中，能維持6分鐘.

　　(2)當(dāng)0

　　當(dāng)1055.

　　當(dāng)16

     

　　∴學(xué)生注意力不低于55的持續(xù)時(shí)間為 ﹣ = <10.

　　∴老師能不能在學(xué)生一直達(dá)到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題.

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想.屬于基礎(chǔ)題.

　　21.設(shè)f(x)=mx2+(m+4)x+3.

　　(1)試確定m的值，使得f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，且f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)的差的絕對值最小，并求出這個(gè)最小值;

　　(2)若m=﹣1時(shí)，在[0，λ](λ為正常數(shù))上存在x使f(x)﹣a>0成立，求a的取值范圍.

　　【分析】(1)f(x)為二次函數(shù)，令△>0得出m的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)得關(guān)系用m表示兩根的絕對值，求出新函數(shù)的最小值即可.

　　(2)求出f(x)在[0，λ]上的最大值fmax(x)，則a

　　【解答】解：(1)∵f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，∴ ，解得m≠0.

　　設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1x2= .

　　∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=( )2﹣ = ﹣ +1=16( ﹣ )2+ .

　　∴當(dāng)m=8時(shí)，∴|x1﹣x2|2取得最小值 .∴|x1﹣x2|的最小值為 .

　　(2)當(dāng)m=﹣1時(shí)，f(x)=﹣x2+3x+3，f(x)的對稱軸為x= .

　�、偃�0 ，則fmax(x)=f(λ)=﹣λ2+3λ+3，

　�、谌� ，則fmax(x)=f( )= .

　　∵在[0，λ](λ為正常數(shù))上存在x使f(x)﹣a>0成立，∴a

　　綜上，當(dāng)0 時(shí)，a的取值范圍是(﹣∞，﹣λ2+3λ+3);

　　當(dāng) 時(shí)，a的取值范圍是(﹣∞， ).

　　【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題.

　　22.定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f(x)≥M成立，則稱f(x)是D上的有下界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)下界.已知函數(shù)f(x)= (a>0).

　　(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求a的值;

　　(2)求函數(shù)f(x)在[lna，+∞)上所有下界構(gòu)成的集合.

　　【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可;

　　(2)通過定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[lna，+∞)上是增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，從而求出滿足條件的集合即可.

　　【解答】解：(1)函數(shù)f(x)= (a>0)是R上的偶函數(shù)，f(﹣x)=f(x)，

　　即 (ex﹣e﹣x)=a( ﹣ )=a(ex﹣e﹣x)在R恒成立，

　　∴ =a，解得：a=1，(a>0)，

　　(2)在[lna，+∞)上任取x1，x2，且x1

　　f(x1)﹣f(x2)= ( ﹣ )﹣a =( ﹣ )• ，

　　∵y=ex是增函數(shù)，lna≤x1

　　∴ ﹣ <0，∴x1+x2>2lna=lna2，

　　∴ > =a2，∴ ﹣a2>0，

　　∵a• >0，

　　∴f(x1)﹣f(x2)<0，即f(x1)

　　∴函數(shù)f(x)在[lna，+∞)上是增函數(shù)，

　　∴f(x)min=f(lna)= + =2，

　　∴函數(shù)f(x)在[lna，+∞)上所有下界構(gòu)成的集合是(﹣∞，2].

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