考研數(shù)學(xué)(四)試題及答案(完全修正版)

　　在平時(shí)的學(xué)習(xí)、工作中，我們都不可避免地要接觸到試題，試題有助于被考核者了解自己的真實(shí)水平。大家知道什么樣的試題才是規(guī)范的嗎？下面是小編精心整理的考研數(shù)學(xué)(四)試題及答案(完全修正版)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　1.若xy0，則對(duì) xy+yx說(shuō)法正確的是()

　　A.有最大值-2 B.有最小值2

　　C.無(wú)最大值和最小值 D.無(wú)法確定

　　答案：B

　　2.設(shè)x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數(shù)，則xy的最大值是()

　　A.400 B.100

　　C.40 D.20

　　答案：A

　　3.已知x2，則當(dāng)x=____時(shí)，x+4x有最小值___。

　　答案：2 4

　　4.已知f(x)=12x+4x.

　　(1)當(dāng)x0時(shí)，求f(x)的最小值;

　　(2)當(dāng)x0 時(shí)，求f(x)的最大值.

　　解：(1)∵x0，12x，4x0.

　　12x+4x212x4x=83.

　　當(dāng)且僅當(dāng)12x=4x，即x=3時(shí)取最小值83，

　　當(dāng)x0時(shí)，f(x)的最小值為83.

　　(2)∵x0，-x0.

　　則-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，

　　當(dāng)且僅當(dāng)12-x=-4x時(shí)，即x=-3時(shí)取等號(hào).

　　當(dāng)x0時(shí)，f(x)的最大值為-83.

　　一、選擇題

　　1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

　　A.x+12x B.x2-1+1x2-1

　　C.2x+2-x D.x(1-x)

　　答案：C

　　2.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是()

　　A.32-3 B.-3

　　C.62 D.62-3

　　解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

　　3.已知m、nR，mn=100，則m2+n2的最小值是()

　　A.200 B.100

　　C.50 D.20

　　解析：選A.m2+n22mn=200，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立.

　　4.給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：

　�、佟遖，b(0，+)，ba+ab2ba

　�、凇選，y(0，+)，lgx+lgy2lgx

　　③∵aR，a0，4a+a 24a

　�、堋選，yR，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

　　其中正確的推導(dǎo)過(guò)程為()

　　A.①② B.②③

　　C.③④ D.①④

　　解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.

　�、佟遖，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的條件，故①的推導(dǎo)過(guò)程正確;

　�、陔m然x，y(0，+)，但當(dāng)x(0，1)時(shí)，lgx是負(fù)數(shù)，y(0，1)時(shí)，lgy是負(fù)數(shù)，②的推導(dǎo)過(guò)程是錯(cuò)誤的;

　　③∵aR，不符合基本不等式的條件，

　　4a+a24aa=4是錯(cuò)誤的;

　　④由xy0得xy，yx均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將全體xy+yx在提出負(fù)號(hào)后，(-xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確.

　　5.已知a0，b0，則1a+1b+2ab的最小值是()

　　A.2 B.22

　　C.4 D.5

　　解析：選C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=bab=1時(shí)，等號(hào)成立，即a=b=1時(shí)，不等式取得最小值4.

　　6.已知x、y均為正數(shù)，xy=8x+2y，則xy有()

　　A.最大值64 B.最大值164

　　C.最小值64 D.最小值164

　　解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，

　　xy=8x+2y28x2y=8xy，

　　當(dāng)且僅當(dāng)8x=2y時(shí)等號(hào)成立.

　　xy64.

　　二、填空題

　　7.函數(shù)y=x+1x+1(x0)的最小值為_(kāi)______。

　　答案：1

　　8.若x0，y0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為_(kāi)______。

　　解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.

　　答案：大 116

　　9.(2010年高考山東卷)已知x，yR+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為_(kāi)______。

　　解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.

　　當(dāng)且僅當(dāng)x3=y4時(shí)取等號(hào).

　　答案：3

　　三、解答題

　　10.(1)設(shè)x-1，求函數(shù)y=x+4x+1+6的最小值;

　　(2)求函數(shù)y=x2+8x-1(x1)的最值.

　　解：(1)∵x-1，x+10.

　　y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

　　2 x+14x+1+5=9，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x+1=4x+1，即x=1時(shí)，取等號(hào).

　　x=1時(shí)，函數(shù)的最小值是9.

　　(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

　　=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.

　　(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

　　當(dāng)且僅當(dāng)x-1=9x-1，即x=4時(shí)等號(hào)成立，

　　y有最小值8.

　　11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

　　證明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，

　　1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，

　　同理1b-12acb，1c-12abc，

　　以上三個(gè)不等式兩邊分別相乘得

　　(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

　　當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

　　12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級(jí)污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁忽略不計(jì)).

　　問(wèn)：污水處理池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為多少米時(shí)可使總價(jià)最低.

　　解：設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為x米，則寬為200x米.

　　總造價(jià)f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

　　=800(x+225x)+12000

　　1600x225x+12000

　　=36000(元)

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=225x(x0)，

　　即x=15時(shí)等號(hào)成立。

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