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數(shù)理邏輯超難面試題：甲乙兩人互猜數(shù)字，你會(huì)做嗎？
這是一道歷史悠久，又很困難的面試題。
你在旁觀主持人和甲、乙兩個(gè)天才數(shù)學(xué)家玩猜數(shù)字游戲。主持人準(zhǔn)備了兩個(gè)數(shù)，告知甲乙：這兩個(gè)數(shù)不同，且大于等于1，小于等于50。然后主持人將兩數(shù)之積告訴甲，把兩數(shù)之和告訴乙。甲知道乙拿到兩數(shù)之和，乙也知道甲拿到兩數(shù)之積。主持人讓甲乙猜這兩個(gè)數(shù)字，讓甲先發(fā)言。
甲：“我不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”
乙：“我也不知道”
甲：“那我知道了”
乙：“那我也知道了”
請(qǐng)問你，這兩個(gè)數(shù)是什么?
網(wǎng)上有不少對(duì)這道題的討論和答案，但幾乎都沒有準(zhǔn)確的推理過程。本文用盡量簡單明了的語言給出詳細(xì)的推理過程，但建議在參閱下面的答案前，先自行認(rèn)真思考。
分析與解答
由于推斷的邏輯很復(fù)雜，所以必須用約定的語言來描述。本文所用的推斷名稱格式如下：
“1甲n”表示若甲拿到的兩數(shù)之積為n，第1次發(fā)言時(shí)做的推斷。
“1乙m”表示若乙拿到的兩數(shù)之和為m，根據(jù)甲的第1次發(fā)言，乙做出的推斷。
“2甲n”表示若甲拿到的兩數(shù)之積為n，根據(jù)乙的第1次發(fā)言，甲做出的推斷。
“2乙m”表示若乙拿到的兩數(shù)之和為m，根據(jù)甲的第2次發(fā)言，乙做出的推斷。
前提是甲乙都是天才數(shù)學(xué)家，因此一定會(huì)先假設(shè)兩個(gè)數(shù)，然后將自己做為對(duì)方進(jìn)行推斷。如果可以推斷出，則一定不會(huì)失誤。
推斷的書寫格式為：
推斷名：可能拆分1，結(jié)論1;可能拆分2，結(jié)論2;……
推斷名為紅色表示可知推斷，即可推斷出確切的兩個(gè)數(shù);綠色表示未知推斷，即有多種可能。
一、甲說：“我不知道”
下面列出甲拿到的積為2到12的全部情況。(A)若兩數(shù)之積只有一種拆分的情況下甲會(huì)做出已知推斷，與甲第一次未知的事實(shí)不符;(B)若至少有兩種可能，則甲做出未知推斷。
1甲2：1*2，可知1和2。(A)
1甲3：1*3，可知1和3。(A)
1甲4：1*4，可知1和4。(A)
1甲5：1*5，可知1和5。(A)
1甲6：1*6，2*3。(B)
1甲7：1*7，可知1和7。(A)
1甲8：1*8，2*4。(B)
1甲9：1*9，可知1和9。(A)
1甲10：1*10，2*5。(B)
1甲11：1*11，可知1和11。(A)
1甲12：1*12，2*6，3*4。(B)
以下略，易證得兩數(shù)之積為素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的平方時(shí)為已知推斷，否則為未知推斷。
二、乙說：“我也不知道”
1. 對(duì)于乙，若兩數(shù)之和只有一種拆分可能，則乙可做出可知推斷，與乙第一次未知的事實(shí)不符。
2. 若至少有兩種拆分可能，則乙可在假設(shè)某一種拆分的情況下，算得兩數(shù)之積，然后假設(shè)自己為甲做出推斷，并得到相應(yīng)的結(jié)論：(A)若在假設(shè)的某一種拆分的情況下甲會(huì)做出已知推斷，則該情況與甲第一次未知的事實(shí)矛盾;(B)若有且只有一種拆分的情況下甲會(huì)做出未知推斷，則乙可做出已知推斷(就是這種拆分)，與乙第一次未知的事實(shí)矛盾;(C)若有至少兩種拆分的情況下甲都會(huì)做出未知推斷，則乙做出未知推斷，符合乙第一次未知的事實(shí)。
1乙3：1+2，可知1和2。(A)
1乙4：1+3，可知1和3。(A)
1乙5：1+4，則1甲4;2+3，則1甲6。(B)
1乙6：1+5，則1甲5;2+4，則1甲8。(B)
1乙7：1+6，則1甲6;2+5，則1甲10;3+4，則1甲12。(C)
1乙8：1+7，則1甲7;2+6，則1甲12;3+5，則1甲15。(C)
1乙9：1+8，則1甲8;2+7，則1甲14;3+6，則1甲18。(C)
1乙10：1+9，則1甲9;2+8，則1甲16;3+7，則1甲21;4+6，則1甲24。(C)
以下略，易證得皆為未知推斷。
三、甲說：“那我知道了”
對(duì)于甲，在排除第一次的已知推斷后，在剩下的推斷中兩數(shù)之積必有兩個(gè)或以上的拆分可能。那么甲可在假設(shè)某一種拆分的情況下，算得兩數(shù)之和，然后假設(shè)自己為乙做出推斷，并得到相應(yīng)的結(jié)論：(A)若至少有兩種拆分的情況下乙都會(huì)做出未知推斷，則甲只能做出未知推斷，與甲這一次已知的事實(shí)矛盾;(B)若有一種拆分的情況下乙會(huì)做出未知推斷，符合乙第一次未知的事實(shí)，則甲可做出已知推斷，符合甲這一次已知的事實(shí)。
2甲6：1*6，則1乙7;2*3，則1乙5。(B)
2甲8：1*8，則1乙9;2*4，則1乙6。(B)
2甲10：1*10，則1乙11;2*5，則1乙7。(A)
2甲12：1*12，則1乙12; 2*6，則1乙8;3*4，則1乙7。(A)
以下略，易證得皆為未知推斷。
四、乙說：“那我也知道了”
對(duì)于乙，在排除上次的已知推斷后，在剩下的推斷中兩數(shù)之和必有兩個(gè)或以上的拆分可能。那么乙可在假設(shè)某一種拆分的情況下，算得兩數(shù)之積，然后假設(shè)自己為甲做出推斷，并得到相應(yīng)的結(jié)論：(A)若假設(shè)的所有拆分情況下甲都會(huì)在第二次做出未知推斷，則該情況與甲第二次已知的事實(shí)矛盾;(B)若有一種拆分的情況下甲會(huì)在第二次做出已知推斷，符合甲第二次已知的事實(shí)，則乙可做出已知推斷，符合乙第二次已知的事實(shí)。
2乙7：1+6，則2甲6;2+5，則2甲10;3+4，則2甲12。(B)
2乙8：1+7，則2甲7;2+6，則2甲12;3+5，則2甲15。(A)
2乙9：1+8，則2甲8;2+7，則2甲15;3+6，則2甲18;4+5，則2甲20。(B)
2乙10：1+9，則2甲9;2+8，則2甲16;3+7，則2甲21;4+6，則2甲24。(A)
藍(lán)色標(biāo)注的情況早在第一次推斷就被排除，不予考慮。以下略，易證皆為未知推斷。
結(jié)論：當(dāng)兩數(shù)為1和6時(shí)或1和8時(shí)，甲乙各自的兩次推斷結(jié)論均滿足題目所描述的事實(shí)。
最后留一個(gè)練習(xí)：如果兩個(gè)數(shù)可以相同，那這道題是否有唯一解?如果有，解是什么?
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