高二數(shù)學等差數(shù)列教學設計
(一)教學目標
1.知識與技能:通過實例，理解等差數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列的通項公式;能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題;體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系。
2. 過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數(shù)列的概念;由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相應問題的研究。
3.情態(tài)與價值:培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學生的應用意識。
(二)教學重、難點
重點：理解等差數(shù)列的概念及其性質，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式;會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。
難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)出的數(shù)學思想方法。
(三)學法與教學用具
學法：引導學生首先從四個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式;可以用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。
教學用具：投影儀
(四)教學設想
[創(chuàng)設情景]
上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會接觸得比較多的實際計算問題，都需要用到有關數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。
[探索研究]
由學生觀察分析并得出答案：
(放投影片)在現(xiàn)實生活中，我們經常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，____,____,____,____,……
2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目。該項目共設置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列(單位：kg)：48，53，58，63。
水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列(單位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×寸期).例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內各年末的本利和分別是：
時間年初本金(元)年末本利和(元)
第1年10 00010 072
第2年10 00010 144
第3年10 00010 216
第4年10 00010 288
第5年10 00010 360
各年末的本利和(單位：元)組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同學們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看這些數(shù)列有什么共同特點呢?
(由學生討論、分析)
引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：
對于數(shù)列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ;
對于數(shù)列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 5 ;
對于數(shù)列③，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 -2.5 ;
對于數(shù)列④，從第2項起，每一項與前一項的差都等于 72 ;
由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)(即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數(shù)的特點)。
[等差數(shù)列的概念]
對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個定義：
等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。
提問：如果在
與
中間插入一個數(shù)A，使
，A，
成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么條件?
由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數(shù)列，那么由定義可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。
不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項。
如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。
看來，
從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則
[等差數(shù)列的通項公式]
對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢?這是我們接下來要學習的內容。
�、拧⑽覀兪峭ㄟ^研究數(shù)列
的第n項與序號n之間的關系去寫出數(shù)列的通項公式的。下面由同學們根據(jù)通項公式的`定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項公式。
由學生經過分析寫出通項公式：
�、� 這個數(shù)列的第一項是5，第2項是10(=5+5)，第3項是15(=5+5+5)，第4項是20(=5+5+5+5)，……由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
② 這個數(shù)列的第一項是48，第2項是53(=48+5)，第3項是58(=48+5×2)，第4項是63(=48+5×3)，由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
�、� 這個數(shù)列的第一項是18，第2項是15.5(=18-2.5)，第3項是13(=18-2.5×2)，第4項是10.5(=18-2.5×3)，第5項是8(=18-2.5×4)，第6項是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
�、� 這個數(shù)列的第一項是10072，第2項是10144(=10172+72)，第3項是10216(=10072+72×2)，第4項是10288(=10072+72×3)，第5項是10360(=10072+72×4)，由此可以猜想得到這個數(shù)列的通項公式是
�、啤⒛敲�，如果任意給了一個等差數(shù)列的首項
和公差d，它的通項公式是什么呢?
引導學生根據(jù)等差數(shù)列的定義進行歸納：
(n-1)個等式
所以
……
思考：那么通項公式到底如何表達呢?
……
得出通項公式：由此我們可以猜想得出：以
為首項，d為公差的等差數(shù)列
的通項公式為：
也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項
和公差d，那么這個等差數(shù)列的通項
就可以表示出來了。
選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：
(迭加法)：
是等差數(shù)列，所以
……
兩邊分別相加得
所以
(迭代法)：
是等差數(shù)列，則有
……
所以
[例題分析]
例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項.
⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項?如果是，是第幾項?
分析：⑴要求出第20項，可以利用通項公式求出來。首項知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差;
�、七@個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項數(shù)是否有意義。
解：⑴由
=8，d=5-8=-3，n=20，得
�、朴�
=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個數(shù)列的通項公式為
由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。
解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項。
例題評述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關于
、
、d、n(獨立的量有3個)的方程;另外，要懂得利用通項公式來判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。
(放投影片)例2.某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4千米)計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費?
解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列
來計算車費.
令
=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費
答：需要支付車費23.2元。
例題評述：這是等差數(shù)列用于解決實際問題的一個簡單應用，要學會從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實際問題。
(放投影片)思考例題：例3 已知數(shù)列
的通項公式為
其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?
分析：判定
是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看
(n>1)是不是一個與n無關的常數(shù)。
解：取數(shù)列
中的任意相鄰兩項
(n>1)，
求差得
它是一個與n無關的數(shù).
所以
是等差數(shù)列。
課本左邊“旁注”：這個等差數(shù)列的首項與公差分別是多少?
這個數(shù)列的首項
。由此我們可以知道對于通項公式是形如
的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.
例題評述：通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。
[探究]
引導學生動手畫圖研究完成以下探究：
⑴在直角坐標系中，畫出通項公式為
的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點?
�、圃谕粋�直角坐標系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么?據(jù)此說一說等差數(shù)列
與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關系。
分析：⑴n為正整數(shù)，當n取1，2，3，……時，對應的
可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點;
�、飘嫵龊瘮�(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象(點)在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當x在正整數(shù)范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數(shù)列
的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應的點的集合。
該處還可以引導學生從等差數(shù)列
中的p的幾何意義去探究。
[隨堂練習]
例1之后：課本45頁“練習”第1題;
例2之后：課本45頁“練習”第2題;
[課堂小結]
本節(jié)主要內容為：
①等差數(shù)列定義：即
(n≥2)
�、诘炔顢�(shù)列通項公式：
(n≥1)
推導出公式：
(五)評價設計
1、已知
是等差數(shù)列.
�、�
是否成立?
呢?為什么?
�、�
是否成立?據(jù)此你能得出什么結論?
是否成立?據(jù)此你又能得出什么結論?
2、已知等差數(shù)列
的公差為d.求證：
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