函數(shù)的單調(diào)性與最值的教學(xué)設(shè)計
一、 考綱要求及考情分析
二、 教材知識點(diǎn)梳理
1．函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) | 減函數(shù) | |
定義 | 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2 | |
當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) | 當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) | |
圖象描述 | 自左向右看圖象是上升的 | 自左向右看圖象是下降的 |
[易錯易混] 從單調(diào)函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．有的函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個區(qū)間上不是增函數(shù)．例如，函數(shù)y＝x2，當(dāng)x∈[0，＋∞)時是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0]時是減函數(shù)．
(2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
�、偃鬴(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；
�、谌鬹>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；
�、酆瘮�(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反；
�、芎瘮�(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y＝的單調(diào)性相同．
2．函數(shù)的最值
前提 | 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足 | |
條件 | (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M | (3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M |
結(jié)論 | M為最大值 | M為最小值 |
3．預(yù)習(xí)精演練
1．一次函數(shù)y＝kx＋b在R上是增函數(shù)，則k的范圍為( )
A．k＞0 B．k≥0
C．k＜0 D．k≤0?? 答案：A
2．函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)?? 選D.
3．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的`是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x? 選D.
4．若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值的和為，則a＝________.答案：4
三、題型解析
考點(diǎn)一 利用單調(diào)性求最值[簡單型]——發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算
1．函數(shù)f(x)＝的最大值為________．
解析：當(dāng)x≥1時，函數(shù)f(x)＝為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x＜1時，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.
答案：2
2．已知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域?yàn)閇，2]，則a＝________.
解析：由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上單調(diào)遞增，
所以即解得a＝.
答案：
規(guī)律總結(jié)------求函數(shù)最值的常用方法
1．單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；
2．圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；
3．換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最
考點(diǎn)二 確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)[探究型]——直觀想象、邏輯推理
[例1] (1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的遞減區(qū)間為________．
解析：f(x)＝
畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)．
答案：[－1,0]和[1，＋∞)
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的單調(diào)性．
解：設(shè)1≤x1＜x2≤2，則
f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－
�。�(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.
又因?yàn)?＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，從而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故當(dāng)a∈(1,3)時，f(x)在[1,2]上單|調(diào)遞增．
[變式] ?? 將本例(1)中函數(shù)變?yōu)閒(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解析：作出函數(shù)y＝|－x2＋2x＋1|的圖象如圖所示．由圖象可知，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－)和(1,1＋)．
答案：(－∞，1－)和(1,1＋)
注：
1．判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)先求定義域．
2．定義法判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：取值—作差—變形—判號—定論，其中變形為關(guān)鍵，而變形的方法有因式分解、配方法等．
3．用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡單快捷，應(yīng)引起足夠的重視．
4．圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．
考點(diǎn)三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[高頻型]——發(fā)展邏輯推理、提升數(shù)學(xué)運(yùn)算
命題點(diǎn)1 | 利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 |
[例2] 已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：∵函數(shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，
∴當(dāng)x1∈(1,2)時，f(x1)＜f(2)＝0，
當(dāng)x2∈(2，＋∞)時，f(x2)＞f(2)＝0，
即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
答案：B
命題點(diǎn)2 | 利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍 |
[例3] (2018·青海西寧高三期末)已知函數(shù)f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，
則有即解得2＜a≤3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3]．
答案：(2,3]
規(guī)律總結(jié)：
1．利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的求解思路
比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較自變量的大小，根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值大�。�
2．求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路
先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
提醒：應(yīng)注意g(x)，h(x)應(yīng)在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)．
3．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的常用方法
(1)數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的升(降)，再轉(zhuǎn)化為其參數(shù)滿足的不等式(組)進(jìn)而求解．
(2)導(dǎo)數(shù)法：將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在某單調(diào)區(qū)間上恒正(負(fù))問題求解．
四、課后作業(yè)
1．已知偶函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的增函數(shù)，則滿足f(2x－1)＜f的x的取值范圍是( )
A. B．
C. D．
解析：選A.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(2x－1)＜f，故|2x－1|＜，解得＜x＜.
2．(2018·山東日照模擬)若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．( 0,1]
解析：選D.由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是減函數(shù)可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，
∴由g(x)＝在[1,2]上是減函數(shù)可得a＞0，
故0＜a≤1.故選D.
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